ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਲਈ ਸਰੋਤ ਵੇਖੋ

[[File:Cross product vector.svg|thumb|right|ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਪ੍ਰਤਿ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ]]

[[ਗਣਿਤ]] ਅਤੇ [[ਵੈਕਟਰ]] [[ਕੈਲਕੁਲਸ]] ਵਿੱਚ, '''ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ''' ਜਾਂ [[ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ]] (ਕੁੱਝ ਮੌਕਿਆਂ ਤੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਮਹੱਤਤਾ ਤੇ ਜੋਰ ਦੇਣ ਲਈ [[ਖੇਤਰ ਗੁਣਨਫਲ]] ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਸਪੇਸ (R3) ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ × ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਆਤਮਨਿਰਭਰ [[ਵੈਕਟਰ]] a ਅਤੇ b ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ a × b, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਵੈਕਟਰ ਬਣੇਗਾ ਜੋ ਦੋਹਾਂ ਤੋਂ ਪਰਪੈਂਡੀਕਿਊਲਰ (ਸਮਕੋਣ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਕਰ ਕੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀ ਪਲੇਨ (ਸਤਹਿ) ਤੋਂ ਨੌਰਮਲ (90 ਡਿਗਰੀ ਤੇ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀਆਂ [[ਗਣਿਤ]], [[ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ]], [[ਇੰਜੀਨਿਅਰਿੰਗ]], ਅਤੇ [[ਕੰਪਿਊਟਰ]] [[ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ]] ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ (ਉਪਯੋਗ) ਹਨ। ਇਸਨੂੰ [[ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ]] ([[ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਗੁਣਨਫਲ]]) ਨਹੀਂ ਸਮਝਣਾ ਚਾਹੀਦਾ।
== ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ==
[[File:Right hand rule cross product.svg|right|thumb|[[ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ]] ਦੁਆਰਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਖੋਜਣਾ]]

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ<ref>{{harvnb|Wilson|1901|page=60–61}}</ref><ref name=Cullen>{{cite book |title=Advanced engineering mathematics |author1=Dennis G. Zill |author2=Michael R. Cullen |edition=3rd |year=2006 |publisher=Jones & Bartlett Learning |url=http://books.google.com/?id=x7uWk8lxVNYC&pg=PA324 |page=324 |chapter=Definition 7.4: Cross product of two vectors |isbn=0-7637-4591-X}}</ref>

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \sin \theta \ \mathbf{n}</math>
[[File:Cross product.gif|right|thumb|ਵੈਕਟਰਾਂ '''a''' (blue) ਅਤੇ '''b''' (red) ਦਰਮਿਆਨ ਕੋਣ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ {{nowrap|'''a''' × '''b'''}} (vertical, in purple) ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਓਰਥੋਗਨਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ‖'''a'''‖‖'''b'''‖ ਉਸ ਵੇਲੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ]]

== ਨਾਮ ==
[[File:Sarrus rule.svg|upright=1.25|thumb|right|[[ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ]] ਮੁਤਾਬਿਕ, ਕਿਸੇ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਵਿੱਚ ਆਰਪਾਰ ਤਿਰਛੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਤੱਤਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਗੁਣਨਫਲ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ]]

== ਕਰੋਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣਾ ==

=== ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧਾਰਨਾ ===
[[File:3D Vector.svg|300px|thumb|right|[[ਮਿਆਰੀ ਅਧਾਰ]] ਵੈਕਟਰ ('''i''', '''j''', '''k''', ਅਤੇ '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub>) ਅਤੇ '''a''' ('''a'''<sub>x</sub>, '''a'''<sub>y</sub>, '''a'''<sub>z</sub> ਦੇ [[ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ]] ਵੀ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ '''a'''<sub>1</sub>, '''a'''<sub>2</sub>, '''a'''<sub>3</sub>) ਵੀ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ]]

=== ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਧਾਰਨਾ ===
[[File:Sarrus rule cross product.svg|thumb|'''u''' ਅਤੇ '''v''' ਦਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਖੋਜਣ ਲਈ ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ]]

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ [[ਰਸਮੀ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨ|ਰਸਮੀ]] ਤੌਰ 'ਤੇ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ<ref group="note">Here, “formal" means that this notation has the form of a determinant, but does not strictly adhere to the definition; it is a mnemonic used to remember the expansion of the cross product.</ref> [[determinant]]:
:<math>\mathbf{u\times v} = \begin{vmatrix}
 \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\
 u_1&u_2&u_3\\
 v_1&v_2&v_3\\
\end{vmatrix}</math>

ਇਸ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਨੂੰ [[ਸਾਰੁੱਸ ਦਾ ਨਿਯਮ|ਸਾਰੁੱਸ ਦੇ ਨਿਯਮ]] ਦੀ ਬਰਤੋ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ [[ਕੋਫੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਾਰ]] ਦੀ ਵਰਤੋ ਨਾਲ ਵੀ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ
ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਨਿਯਮ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਲਦਾ ਹੈ
:<math>\begin{align}
 \mathbf{u\times v} &=\\(u_2v_3\mathbf{i}+u_3v_1\mathbf{j}+u_1v_2\mathbf{k}) -
 (u_3v_2\mathbf{i}+u_1v_3\mathbf{j}+u_2v_1\mathbf{k})\\
 &=\\(u_2v_3 - u_3v_2)\mathbf{i} +(u_3v_1 - u_1v_3)\mathbf{j} +
 (u_1v_2 - u_2v_1)\mathbf{k}.
\end{align}</math>

ਕੋਫੈਕਟਰ ਫੈਲਾਓ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਜਗਹ, ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਫੈਲਦਾ ਹੈ<ref name=Cullen2>
{{cite book |title=''cited work'' |url=http://books.google.com/?id=x7uWk8lxVNYC&pg=PA321 |page=321 |chapter= Equation 7: '''a''' × '''b''' as sum of determinants |isbn=0-7637-4591-X |author1=Dennis G. Zill |author2=Michael R. Cullen |publisher=Jones & Bartlett Learning |year=2006}}
</ref>
:<math>\mathbf{u\times v} =
 \begin{vmatrix}
 u_2&u_3\\
 v_2&v_3
 \end{vmatrix}\mathbf{i} -
 \begin{vmatrix}
 u_1&u_3\\
 v_1&v_3
 \end{vmatrix}\mathbf{j} +
 \begin{vmatrix}
 u_1&u_2\\
 v_1&v_2
 \end{vmatrix}\mathbf{k}
</math>

ਜੋ ਨਤੀਜਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਪੁਰਜੇ ਸਿੱਧੇ ਹੀ ਦੇ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

== ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ==

=== ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥ ===
{{See also|ਤੀਹਰਾ ਗੁਣਨਫਲ}}
[[File:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|ਚਿੱਤਰ 1. ਇੱਕ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਪਰਲੈਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ]]
[[File:Parallelepiped volume.svg|right|thumb|240px|ਚਿੱਤਰ 2. ਇੱਕ ਪਰਲੈਲੋਪਾਈਪਡ ਪਰੋਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ]]

=== ਅਲਜਬਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ===
[[File:Cross product scalar multiplication.svg|350px|thumb|ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ]]

[[File:Cross product distributivity.svg|350px|thumb|ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਿਸਥਾਰਵੰਡ<ref>{{cite book|title=Vector Analysis|url=https://archive.org/details/vectoranalysisan0000lips|author1=M. R. Spiegel |author2=S. Lipschutz |author3=D. Spellman |series=Schaum's outlines|year=2009|page=[https://archive.org/details/vectoranalysisan0000lips/page/29 29]|publisher=McGraw Hill|isbn=978-0-07-161545-7}}</ref>]]

[[File:Cross product triple.svg|thumb|350px|The two nonequivalent triple cross products of ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ '''a''', '''b''', '''c''' ਦੇ ਦੋ ਅਸਮਾਨ ਤੀਹਰੇ ਗੁਣਨਫਲ]]

=== ਡਿੱਫਰੈਂਟੀਏਸ਼ਨ ===

ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦਾ [[ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ]] ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

:<math>\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \frac{d\mathbf{b}}{dt}</math>

ਜਿੱਥੇ '''a''' ਅਤੇ '''b''' ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਜੋ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਸਥਿਰਾਂਕ ''t'' ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ।

=== ਤੀਹਰਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਸਾਰ ===
=== ਬਦਲਵੀਂ ਫਾਤਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ===
=== ਲਗਰਾਂਜ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ===
=== ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਤਿਸੂਖਮ ਜਨਰੇਟਰ ===

== ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਬਦਲਵੇਂ ਤਰੀਕੇ ==

=== ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ===
=== ਟੈਂਸਰਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸੂਚਕਾਂਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ===
=== ਯਾਦਸ਼ਕਤੀ ਸ਼ਹਾਇਕ ===
=== ਆਰਪਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ ===

== ਉਪਯੋਗ ==

=== ਹਿਸਾਬ-ਕਿਤਾਬੀ ਰੇਖਾਗਣਿਤ ===
=== ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਟਾਰਕ ===
=== ਠੋਸ ਸਰੀਰ ===
=== ਲੌਰੰਟਜ਼ ਬਲ ===
=== ਫੁਟਕਲ ===

== ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ==
[[File:Exterior calc cross product.svg|right|thumb|ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ. ਲਾਲ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਔਰਥੋਗਨਲ [[ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ]] ਹਨ, ਅਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇਕਾਈ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਹਨ]]

== ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਤੇ ਮਰਜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ==

== ਸਰਵ-ਸਧਾਰੀਕਰਨਾਂ ==

=== ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ===
=== ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ===
=== ਔਕਟਨੀਔਨ ===
=== ਵੈੱਜ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ===
=== ਬਹੁਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰਾ ===
=== ਸਕਿਊਸਮਿੱਟਰਿਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ===

== ਇਤਿਹਾਸ ==

== ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ ==

* [[ਬਾਇਵੈਕਟਰ]]
* [[ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਪ੍ਰੋਡਕਟ]] – ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ
* [[ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ]]
* [[ਬਾਹਰੀ ਅਲਜਬਰਾ]]
* [[ਮਲਟੀਪਲ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ]] –ਠਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰੋਡਕਟ
* [[ਸੂਡੋਵੈਕਟਰ]]
* [[×]] (ਚਿੰਨ)

== ਨੋਟਸ ==
{{Reflist|group=note}}

{{Reflist}}
* {{Cite book | last=Cajori | first=Florian | author-link=Florian Cajori | title=A History Of Mathematical Notations Volume II | year=1929 | publisher=[[Open Court Publishing Company|Open Court Publishing]] | url=http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp | isbn=978-0-486-67766-8 | page=134 | ref=harv | postscript=<!--None-->}}
* [[E. A. Milne]] (1948) [[Vectorial Mechanics]], Chapter 2: Vector Product, pp 11 &ndash;31, London: [[Methuen Publishing]].
* {{Cite book | last=Wilson | first=Edwin Bidwell | title=Vector Analysis: A text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs | year=1901 | publisher=[[Yale University Press]] | isbn=<!--none--> | url=http://www.archive.org/details/117714283 | ref=harv | postscript=<!--None-->}}
* {{Cite book |author = T. Levi-Civita |author2 = U. Amaldi |title = Lezioni di meccanica razionale |publisher = Zanichelli editore |city = Bologna |year = 1949 |language = Italian}}

== ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ ==
* {{springer|title=Cross product|id=p/c027120}}
* {{ਗਣਿਤ-ਸੰਸਾਰ|title=ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ|urlname=ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ}}
*[http://behindtheguesses.blogspot.com/2009/04/dot-and-cross-products.html A quick geometrical derivation and interpretation of cross products]
* C.A. Gonano and R.E. Zich (2014). [http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/1408.5799v1.pdf ''Cross product in N Dimensions - the doublewedge product''], Polytechnic University of Milan, Italy.
* [http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357 Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150905192839/http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357 |date=2015-09-05 }} (it is only possible in 7-D space)
* [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/RealComplexProducts.shtml Real and Complex Products of Complex Numbers]
* [http://physics.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html An interactive tutorial] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060424151900/http://physics.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html |date=2006-04-24 }} created at [[Syracuse University]] – (requires [[Java (programming language)|java]])
* [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/Cross.pdf W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).]

{{ਲੀਨੀਅਰ ਅਲਜਬਰਾ}}

{{DEFAULTSORT:ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ}}
[[ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਗਣਿਤ]]
[[ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ]]
[[ਸ਼੍ਰੇਣੀ:ਰੇਖਾਗਣਿਤ]]