ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ

ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ: ਜੇ $p (x)$ ਘਾਤ $n$ ≥1 ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੋਵੇ ਅਤੇ a ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ

(i):

x - a, p (x)

ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੇ

p (a) = 0

ਹੋਵੇ ਅਤੇ

(ii)

p (a) = 0

ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੇ

x - a, p (x)

ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਵੇ।^[1]^[2]

ਉਦਾਹਰਨ

ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ $x + 2$ ਬਹੁਪਦਾਂ $x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 6$ ਅਤੇ $2 x + 4$ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।

ਹੱਲ:

- 2, x + 2

ਵੀ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਉ

p (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 6

ਅਤੇ

s (x) = 2 x + 4

ਤਦ,

p (- 2) = (- 2)^{3} + 3 (- 2)^{2} + 5 (- 2) + 6

= - 8 + 12 - 10 + 6

= 0

ਇਸਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ $x + 2, x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 6$ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।

ਦੁਬਾਰਾ,

s (x) = 2 (- 2) + 4 = 0

ਇਸਲਈ,

x + 2, 2 x + 4

ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਬਿਨ੍ਹਾਂ ਹੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਕਿਉਂਕਿ

2 x + 4 = 2 (x + 2)

ਹੈ।

ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ^[3] ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਕੇ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ।

6 x^{2} + 17 x + 5 = 6 (x^{2} + \frac{17}{6} x + \frac{5}{6}) = 6 p (x)

ਮੰਨ ਲਉ

ਜੇਕਰ

a

ਅਤੇ

b, p (x)

ਦੀਆਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਹੋਣ ਤਾਂ

6 x^{2} + 17 x + 5 = 6 (x - a) (x - b)

ਹੈ।

ਇਸਲਈ

a b = \frac{5}{6}

ਹੋਵੇਗਾ।

ਆਉ ਅਸੀਂ $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੇ ਲਈ ਕੁਝ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।

ਇਹ

\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3} \pm \frac{5}{2}, \pm 1

ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਹੁਣ,

p (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{2} + \frac{17}{6} (\frac{1}{2}) + \frac{5}{6}

≠0, ਹੈ।

ਪਰ

P (\frac{- 1}{3}) = 0

, ਹੈ।

ਇਸਲਈ $(x + \frac{1}{3})$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਂਚ ਕਰ ਕੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

(x + \frac{5}{2}), p (x)

ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।

ਇਸਲਈ

6 x^{2} + 17 x + 5 = 6 (x + \frac{1}{3}) (x + \frac{5}{2})

= 6 (\frac{3 x + 1}{3}) (\frac{2 x + 5}{2})

(3 x + 1) (2 x + 5)