ਯੁਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਫਰਮਾ:For ਫਰਮਾ:For ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਫਰਮਾ:Math ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਟ੍ਰਾਂਸਪੋਜ਼ ਫਰਮਾ:Math ਇਸੇ ਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਹੋਵੇ- ਯਾਨਿ ਕਿ, ਜੇਕਰ

$U^{*}U=U{U}^{*}=I,$

ਜਿੱਥੇ ਫਰਮਾ:Mvar ਇੱਕ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਖਾਸਕਰ ਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਕੰਜੂਗੇਟ ਜੋ ਡੈਗਰ (†) ਨਾਲ ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਉਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ

$U^{†}U=U{U}^{†}=I.$

ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਐਨਾਲੌਗ ਇੱਕ ਔਰਥੋਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਹੱਤਤਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਨੂੰ ਵੀ।

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਸੀਮਤ ਅਕਾਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਫਰਮਾ:Mvar ਵਾਸਤੇ, ਇਹ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ:

• ਦੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਫਰਮਾ:Mvar ਅਤੇ ਫਰਮਾ:Mvar ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਫਰਮਾ:Mvar ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ; ਯਾਨਿ ਕਿ,

ਫਰਮਾ:Math

• ਫਰਮਾ:Mvar ਨੌਰਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
• ਫਰਮਾ:Mvar ਡਿਗਨਲਾਇਜ਼ੇਬਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਯਾਨਿ ਕਿ, ਸਪੈਕਟ੍ਰਲ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਇੱਕ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਫਰਮਾ:Mvar ਕਿਸੇ ਡਿਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮਿਲਦਾ ਜੁਲਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਫਰਮਾ:Mvar ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਾ ਇੱਕ ਡੀਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

$U=VD{V}^{*},$

ਜਿੱਥੇ ਫਰਮਾ:Mvar ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਰਮਾ:Mvar ਡਿਗਨਲ ਅਤੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

• $|\det (U)|=1$.
• ਇਸਦੀਆਂ ਆਈਗਨ-ਸਪੇਸਾਂ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।
• ਫਰਮਾ:Mvar ਨੂੰ ਫਰਮਾ:Mvar = ਫਰਮਾ:Mvar^{ਫਰਮਾ:Mvarਫਰਮਾ:Mvar} ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਫਰਮਾ:Mvar ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਐਕਸਪੋਨੈਂਸ਼ੀਅਲ, ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਫਰਮਾ:Mvar ਕਾਲਪਨਿਕ ਇਕਾਈ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਰਮਾ:Mvar ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਗੈਰ-ਨੈਗਟਿਵ ਇੰਟਜਰ n ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਕਸ ਗੁਣਨਫਲ, ਸਾਰੇ n × n ਯੁਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਰਚਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ U(n) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਕਾਈ ਯੁਕਿਲਡਨ ਨੌਰਮ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਦੋ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਬਰਾਬਰ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ

ਜੇਕਰ U ਇੱਕ ਸਕੁਏਅਰ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਬਰਾਬਰ ਦੀਆਂ ਹਨ:

1. U ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
2. U^∗ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
3. U, ਫਰਮਾ:Nowrap ਨਾਲ ਉਲਟਾਉਣ-ਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
4. U ਦੇ ਕਾਲਮ, ਆਮ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਤਿ ${ℂ}^n$ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਅਧਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
5. U ਦੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਆਮ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਤਿ ${ℂ}^n$ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਅਧਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
6. U ਆਮ ਨੌਰਮ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੈਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
7. U ਇੱਕ ਨੌਰਮਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਰੱਖੇ ਹੁੰਦ ਹਨ।

ਬੁਨਿਆਦੀ ਬਣਤਰਾਂ

2 × 2 ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਕਿਸੇ ਫਰਮਾ:Nowrap ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਆਮ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

$U=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -e^{i\phi }{b}^{*}& e^{i\phi }{a}^{*}\end{array}\right],{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2=1,$

ਜੋ 4 ਵਾਸਤਵਿਕ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ:

ਫਰਮਾ:Mvar ਦਾ ਫੇਜ਼,

ਫਰਮਾ:Mvar ਦਾ ਫੇਜ਼,

ਫਰਮਾ:Mvar ਅਤੇ ਫਰਮਾ:Mvar ਦਰਮਿਆਨ ਸਾਪੇਖਿਕ ਮੈਗਨੀਟਿਉਿਡ, ਅਤੇ

ਕੋਣ ਫਰਮਾ:Mvar)

ਅਜਿਹੇ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਇੰਝ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

$\det (U)=e^{i\phi }.$

$U$ ਦਾ $\det (U)=1$ ਨਾਲ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਉੱਪ-ਸਮੂਹ ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ SU(2) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਫਰਮਾ:Mvar ਨੂੰ ਇਸ ਬਦਲਵੀਂ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$U=e^{i\phi /2}\left[\begin{array}{cc}{e}^{i{\phi }_1}\cos \theta & e^{i{\phi }_2}\sin \theta \\ -e^{-i{\phi }_2}\sin \theta & e^{-i{\phi }_1}\cos \theta \end{array}\right],$

ਜੋ, ਫਰਮਾ:Nowrap ਅਤੇ ਫਰਮਾ:Nowrap ਦਾਖਲ ਕਰਨ ਨਾਲ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$U=e^{i\phi /2}\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\psi }& 0\\ 0& e^{-i\psi }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\mathrm{\Delta }}& 0\\ 0& e^{-i\mathrm{\Delta }}\end{array}\right].$

ਇਹ ਦਰਸਾਓ (ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ), ਕੋਣ ਫਰਮਾ:Mvar ਦੇ ਫਰਮਾ:Nowrap ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਅਤੇ ਫਰਮਾ:Nowrap ਔਰਥੋਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਹੋਰ ਹਿੱਸਾ-ਕਰਨ-ਕ੍ਰਿਆ ਜੋ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:

$U=\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{e}^{i\xi }& 0\\ 0& e^{i\zeta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \beta & \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta \end{array}\right].$

ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਮੁਢਲਿਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਹੋਰ ਹਿੱਸਾ-ਕਰਨ-ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਸੰਭਵ ਹਨ।

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

• ਔਰਥੋਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ
• ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ
• ਸਿੰਪਲੈਕਟਿਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ
• ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਓਪਰੇਟਰ
• ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਡੀਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ
• ਕੁਆਂਟਮ ਗੇਟ

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

• ਫਰਮਾ:MathWorld
• ਫਰਮਾ:SpringerEOM
• ਫਰਮਾ:Cite web