ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ

ਇਹ ਲੇਖ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਅਤੇ ਪੁਟੈਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਦੇ ਬਣੇ ਇੱਕ ਸਰਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਾਤਮਿਕ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਇੱਕਲੌਤੇ-ਕਣ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਪਿਛੋਕੜ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ

ਬਰਾ-ਕੈੱਟ ਚਿੰਨ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ,

$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi ⟩=\hat{H}|\psi ⟩$

ਜਿੱਥੇ $\hat{H}$ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਰਲਤਾ ਵਾਸਤੇ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮ ਹੈ।

ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{q})$

ਜਿੱਥੇ $V(\hat{q})$ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ ਹੈ, m ਪੁੰਜ ਹੈ ਅਤੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਰਲਤਾ ਵਾਸਤੇ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮ ਫਰਮਾ:Mvar ਹੈ।

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਰਸਮੀ ਹੱਲ ਇਹ ਹੈ

$|\psi (t)⟩=\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t)|q_0⟩\equiv \exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t)|0⟩$

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਣ-ਮੁਕਤ ਸਥਾਨਿਕ ਅਵਸਥਾ $|q_0⟩$ ਮੰਨਿਆ ਹੈ।

ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ $|0⟩$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਕਣ-ਮੁਕਤ ਸਥਾਨਿਕ ਅਵਸਥਾ $|F⟩$ ਤੱਕ ਦੀ ਵਕਤ ਫਰਮਾ:Mvar ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਵਾਸਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

$⟨F|\psi (t)⟩=⟨F|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}T)|0⟩.$

ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ

ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਇੰਟਗ੍ਰਲ

$\exp \left(\frac{i}{\hslash }S\right)$

ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਰਸਤਿਆਂ ਉੱਪਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ S ਕਲਾਸੀਕਲ ਐਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਇਸ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੀ ਪੁਨਰ-ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ, ਜੋ ਮੌਲਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਰਾਕ ਅਤੇ ਫੇਨਮੈਨ ਦੁਆਰਾ ਧਾਰਨਾਬੱਧ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਾ ਅਧਾਰ ਰਚਦੀ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵੱਲ

ਧਿਆਨ ਦੇਓ: ਅੱਗੇ ਲਿਖੀ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਹੈ (ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਮਾਮਿਲਆਂ ਅਂਦਰ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੁਟੈਸ਼ਲ, ਫਰਮਾ:Math, ਮੋਮੈਂਟਮ ਫਰਮਾ:Mvar ਨਾਲ ਕਮਿਊਟ ਕਰਦਾ ਹੈ)। ਫੇਨਮੈਨ ਨੂੰ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ (ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ) ਮੋਮੈਂਟਮ ਫਰਮਾ:Mvar ਨੂੰ ਪੁੰਜ ਫਰਮਾ:Mvar ਅਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਫਰਮਾ:Math ਅਤੇ ਫਰਮਾ:Math ਉੱਤੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਠਿਨ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਵਕਤ ਅੰਤਰ ਫਰਮਾ:Math ਨਾਲ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੂਰੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

$p=m\left(\frac{x_b-x_a}{\delta t}\right)$

ਨੋਟ 2:Zee ਫਰਮਾ:Webarchive ਦੇ ਪੰਨਾ 11 ਉੱਤੇ ਦੋ ਗਲਤੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਇੱਥੇ ਸੋਧੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਵਕਤ ਅੰਤਰਾਲ ਫਰਮਾ:Math ਨੂੰ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਫਰਮਾ:Mvar ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

$\delta t=\frac{T}{N}.$

ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਇਾਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$⟨F|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}T)|0⟩=⟨F|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)\cdots \exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)|0⟩.$

ਅਸੀਂ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

$I=\int dq|q⟩⟨q|$

ਫਰਮਾ:Math ਟਾਈਮ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕੇ

$⟨F|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}T)|0⟩=(\prod _{j=1}^{N-1}\int d{q}_j)⟨F|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)|q_{N-1}⟩⟨q_{N-1}|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)|q_{N-2}⟩\cdots ⟨q_1|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)|0⟩.$

ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਤਬਦੀਲੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$⟨q_{j+1}|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)|q_j⟩=⟨q_{j+1}|\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\frac{{\hat{p}}^2}{2m}\delta t\right)\exp \left(-\frac{i}{\hslash }V\left(q_j\right)\delta t\right)|q_j⟩.$

ਅਸੀਂ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਵਿੱਚ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ

$I=\int \frac{dp}{2\pi }|p⟩⟨p|$

ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਮਿਲ ਸਕੇ

$\begin{array}{cc}⟨q_{j+1}|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)|q_j⟩& =\exp (-\frac{i}{\hslash }V\left(q_j\right)\delta t)\int \frac{dp}{2\pi }⟨q_{j+1}|\exp (-\frac{i}{\hslash }\frac{p^2}{2m}\delta t)|p⟩⟨p|q_j⟩\\ & =\exp (-\frac{i}{\hslash }V\left(q_j\right)\delta t)\int \frac{dp}{2\pi }\exp (-\frac{i}{\hslash }\frac{p^2}{2m}\delta t)⟨q_{j+1}|p⟩⟨p|q_j⟩\\ & =\exp (-\frac{i}{\hslash }V\left(q_j\right)\delta t)\int \frac{dp}{2\pi \hslash }\exp (-\frac{i}{\hslash }\frac{p^2}{2m}\delta t-\frac{i}{\hslash }p(q_{j+1}-q_j))\end{array}$

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਤੱਥ ਵਰਤਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ

$⟨p|q_j⟩=\frac{\exp \left(\frac{i}{\hslash }p{q}_j\right)}{\sqrt{\hslash }}$.

p ਉੱਪਰ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ (ਦੇਖੋਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰ ਸਾਂਝੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$⟨q_{j+1}|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}\delta t)|q_j⟩={\left(\frac{-im}{2\pi \delta t\hslash }\right)}^{\frac{1}{2}}\exp \left[\frac{i}{\hslash }\delta t(\frac{1}{2}m{\left(\frac{q_{j+1}-q_j}{\delta t}\right)}^2-V\left(q_j\right))\right]$

ਪੂਰੇ ਵਕਤ ਪੀਰੀਅਡ ਲਈ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

$⟨F|\exp (-\frac{i}{\hslash }\hat{H}T)|0⟩={\left(\frac{-im}{2\pi \delta t\hslash }\right)}^{\frac{N}{2}}(\prod _{j=1}^{N-1}\int d{q}_j)\exp \left[\frac{i}{\hslash }\sum _{j=0}^{N-1}\delta t(\frac{1}{2}m{\left(\frac{q_{j+1}-q_j}{\delta t}\right)}^2-V\left(q_j\right))\right].$

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਾਲ ਫਰਮਾ:Mvar ਦੀ ਹੱਦ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਘਟ ਕੇ ਇਹ ਰਹਿ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$⟨F|\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\hat{H}T\right)|0⟩=\int Dq(t)\exp \left[\frac{i}{\hslash }S\right]$

ਜਿੱਥੇ S ਕਲਾਸੀਕਲ ਕਾਰਜ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$S=\underset{0}{\overset{T}{\int }}dtL(q(t),\dot{q}(t))$

ਅਤੇ L ਕਲਾਸੀਕਲ ਲਗ੍ਰਾਂਜੀਅਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)$

ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਜਾਣ ਦਾ, ਕਣ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਭਵ ਰਸਤਾ, ਕਿਸੇ ਟੁੱਟੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੰਖੇਪਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਦੇ ਨਾਪ ਅੰਦਰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

$\int Dq(t)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{-im}{2\pi \delta t\hslash }\right)}^{\frac{N}{2}}(\prod _{j=1}^{N-1}\int d{q}_j)$

ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਰਅਸਲ ਇਹ ਅੰਦਾਜ਼ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲਾ ਗੁਣਾਂਕ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਯਾਮ ਸਹੀ ਰਹਿਣ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਉਪਯੋਗ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ।

ਇਹ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦੀ ਪੁਨਰ ਬਹਾਲੀ (ਰਿਕਵਰੀ) ਕਰਦਾ ਹੈ।